¿Qué es la ecuación de Bernoulli?

La ecuación de Bernoulli es una consecuencia de la ley de conservación de la energía para el flujo de fluidos. Se trata de un enunciado que permite describir el comportamiento de un fluido que se mueve a lo largo de una línea de corriente o tubería. Esta ecuación es utilizada principalmente para resolver problemas de flujo ideal de manera casi inmediata, siendo de gran importancia para el estudio de la ingeniería.

La ecuación de Bernoulli se utiliza para analizar fluidos en tuberías
El análisis de fluidos que fluyen a través de tuberías se realiza utilizando la ecuación de Bernoulli. Imagen de construccionexec

La ecuación de Bernoulli, en muchos casos, es utilizada directamente sobre cualquier tipo de problema de flujo de fluidos, debido a que es mucho más simple que recurrir a complicadas ecuaciones diferenciales de cantidad de movimiento. En este artículo, describiremos a la ecuación de Bernoulli y resolveremos algunos ejemplos utilizando esta ecuación.

Tabla de contenidos
  1. Principio de Bernoulli
    1. Deduciendo el principio de Bernoulli
  2. Ecuación de Bernoulli
    1. Deduciendo la ecuación de Bernoulli
  3. Ejemplos ilustrativos del uso de la ecuación de Bernoulli
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2

Principio de Bernoulli

Análisis para entender la deducción de la ecuación de Bernoulli
Análisis para entender la ecuación de Bernoulli. Imagen de padeepz

El principio de Bernoulli, es un enunciado bastante particular ya que pareciera ir en contra del sentido común, debido a la forma en que plantea la relación entre la velocidad y la presión del fluido a estudiar. Este principio establece lo siguiente:

El principio de Bernoulli establece que dentro de un flujo horizontal de fluidos, los puntos de mayor velocidad de dicho fluido deberán tener una presión menor a los puntos que cuentan con una velocidad menor de fluido.

Lo que describe este enunciado, es que mientras mayor velocidad tenga el fluido dentro de la línea de estudio, menor será su presión. Además, plantea que es un fluido horizontal, lo cual no debe tomarse literal, ya que la trayectoria del fluido no siempre es horizontal, puede tener variaciones de altura y de inclinación. Sin embargo, se debe tener en cuenta que el cambio de altura entre los puntos de estudio del fluido no debe ser muy pronunciado, ya que si esto sucede, el cambio de energía potencial debido a la fuerza de gravedad se tornará importante, lo que podría ocasionar una desviación considerable del principio de Bernoulli.

En otras palabras, cuando se cambia el diámetro de la tubería por donde pasa el fluido a estudiar, puede observarse un aumento de la velocidad de dicho fluido en ciertas regiones de la tubería. Por otro lado, en los puntos en donde se mueve más rápido el fluido, la presión siempre será menor que en los puntos en donde el fluido se mueve más lento.

Deduciendo el principio de Bernoulli

Para deducir el principio de Bernoulli, vamos a tomar en cuenta un ejemplo cotidiano, como el flujo de agua por una manguera a presión. El agua es un fluido incompresible, por ello, tiende a elevar su velocidad cuando se encuentra en una sección de tubería mucho más pequeña, para de este modo, mantener el volumen de flujo constante, como es el caso de la boquilla de la manguera a presión.

Esta energía cinética que gana el fluido incompresible (en este caso, el agua), se debe a la adición de un trabajo externo sobre el fluido. Esta adición de trabajo se puede expresar mediante el principio del trabajo y la energía de la siguiente manera:


Ecuación de trabajo externo para deducir el Principio de Bernoulli

Donde:

  • vf: Velocidad final o del punto final de estudio de fluido
  • vi: Velocidad inicial o del punto inicial de estudio del fluido
  • m: Masa del fluido

Se puede deducir de la ecuación, que cuando un fluido gana energía cinética (aumenta su velocidad), es debido a un trabajo externo que se realiza sobre dicho fluido. Este trabajo es causado por fuerzas externas que generan trabajo negativo, pero para efectos de entendimiento del principio, vamos a considerar que estas fuerzas viscosas son despreciables y que el flujo del fluido se encuentra en régimen laminar, es decir, que fluye en capas paralelas ordenadas sin causar remolinos en el fluido.

Tomando en cuenta estas consideraciones, sólo queda por estudiar la presión del fluido como causante de la variación de energía cinética. Para visualizarlo mejor, vamos a centrarnos en la siguiente figura:


Estudio de la presión de un fluido dentro de una tubería con cambio de diámetro
Estudio de la presión de un fluido dentro de una tubería con diferentes diámetros. Imagen de ingenieriabasica

En la figura, podemos observar que el agua fluye a través de las líneas de flujo de izquierda a derecha, y a medida que se estrecha el diámetro va aumentando la velocidad del fluido, notándose que la fuerza ejercida por la presión en el punto 1 (P1) empuja el fluido a la derecha, haciendo un trabajo positivo. Por el contrario, la fuerza de la presión en el punto 2 (P2), empuja el fluido hacia la izquierda, realizando un trabajo negativo, ya que se encuentra en una dirección opuesta a la del fluido.

Debido a la ecuación de continuidad, sabemos que el agua debe acelerar al salir por la boquilla de la manguera, por lo que se espera una cantidad de trabajo positivo al salir el fluido de la manguera. Por lo tanto, la presión del punto 1 debe ser mayor a la presión del punto 2. En otras palabras, la presión que se encuentra en el lado lento de la manguera (diámetro mayor de tubería) es más grande que la presión del lado rápido (diámetro menor de tubería). Esta relación inversa es lo que se conoce como principio de Bernoulli, demostrando así el enunciado descrito anteriormente.

Cabe destacar, que la presión a la cual se refiere el principio de Bernoulli es la presión interna del fluido, aquella que se ejerce en todas las direcciones del fluido durante su flujo a través de la tubería. Esta presión es diferente a la presión que ejercerá el agua al salir de la manguera y que golpeará con fuerza contra un objeto.

Asimismo, el principio de Bernoulli no indica que los fluidos que se mueven a altas velocidades no pueden tener presiones altas, sólo detalla que la presión de dichos fluidos en una región donde su velocidad es más lenta, es mucho mayor a la presión de las zonas donde el fluido tiene velocidades más elevadas.



Ecuación de Bernoulli

Esta famosa ecuación es simplemente la expresión matemática del principio de Bernoulli, la cual, toma en cuenta los cambios de la energía potencial. Seguidamente, vamos a deducir la ecuación, pero antes vamos a estudiarla un poco para entenderla y ver cómo puede utilizarse.

La ecuación de Bernoulli fue expuesta en el año de 1738 en la obra hidrodinámica por Daniel Bernoulli. Esta ecuación nos da a entender que un flujo ideal (sin viscosidad ni roce) relaciona la presión, la velocidad y la altura de dos puntos cualquiera de un fluido que se encuentra en régimen laminar con una densidad constante. La ecuación de Bernoulli suele escribirse de la siguiente manera:


Expresión de la ecuación de Bernoulli

Donde:

  • P1: Presión de fluido en el punto 1
  • P2: Presión del fluido en el punto 2
  • v1: Velocidad del fluido en el punto 1
  • v2: Velocidad del fluido en el punto 2
  • h1: Altura del fluido en el punto 1
  • h2: Altura del fluido en el punto 2
  • ρ: Densidad del fluido
  • g: Aceleración de gravedad

Hay que destacar que los puntos a estudiar pueden ser cualesquiera dentro de la tubería. Los puntos marcados en la figura son referenciales, y podemos elegir los que deseemos al ejecutar la ecuación de Bernoulli para estudiar el comportamiento del fluido.

La pregunta más común de los estudiantes, es cómo elegir los puntos para aplicar la ecuación de Bernoulli, la respuesta es relativa y dependerá de los datos que se tengan para poder resolver un problema con esta ecuación. Por lo general, se toma como segundo punto, un punto en donde tengamos la información del fluido en una toma manométrica (ya que se otorga el dato de la presión del fluido), o en un punto en donde el fluido esté abierto a la atmósfera, ya que en ese punto la presión absoluta es la atmosférica.

Hay que destacar, que generalmente se toma al punto más bajo en altura como referencia, h = 0. Como podemos notar, la ecuación de Bernoulli es el resultado de aplicar la ley de conservación de la energía a un fluido en movimiento.

Deduciendo la ecuación de Bernoulli

De manera análoga a la deducción que realizamos del principio de Bernoulli, vamos a explicar de dónde viene la ecuación de Bernoulli. Para ello, utilizaremos la siguiente figura:


Deducción de la ecuación de Bernoulli. Imagen de ingenieriabasica

Podemos observar que un fluido se mueve de izquierda a derecha por una tubería, además se aprecia que existe un cambio en la altura y en el área de la sección transversal de la tubería, como consecuencia de un cambio de diámetro y de la diferencia de altura de un punto a otro. Asimismo, notamos que el diámetro es menor en el segundo punto y (como vimos para la demostración del principio de Bernoulli) en este punto la velocidad del fluido será mayor que el punto de diámetro más grande para mantener el volumen de flujo, incluso si el fluido se mueve hacia arriba.

Sin embargo, no sólo la velocidad aumenta (energía cinética, K), como el fluido se mueve hacia arriba, la energía potencial debida a la fuerza de gravedad también aumenta (U). Suponiendo que el fluido no es viscoso, que el flujo es laminar y que no existen fuerzas disipativas que lo afecten, se puede decir que cualquier energía añadida al sistema causará un trabajo externo sobre el fluido, pudiéndose expresar de la siguiente manera:


Expresión de trabajo externo para deducir la ecuación de Bernoulli

En el punto 1 de estudio, el trabajo que se realiza sobre el fluido es positivo, mientras que en el punto 2 es negativo (sentido contrario al movimiento del fluido). Ahora, considerando que W = F x d (fuerza por distancia) y que podemos sustituir F por presión, tendíamos la siguiente expresión:

Reducción de la expresión de trabajo externo para la ecuación de Bernoulli

Donde:

  • W: Trabajo.
  • P: Presión.
  • A: Área de la sección transversal de la tubería.
  • d: Desplazamiento de masa de fluido en sección de tubería.

Sustituyendo, para ambos puntos de estudio en la tubería, tenemos la siguiente expresión:


Expresión sustituida de la ecuación de Bernoulli

Considerando que el volumen de fluido desplazado por la tubería es el mismo y que el fluido es incompresible, tenemos que un volumen idéntico de fluido debe ser desplazado por todos los lados de la tubería, por lo tanto, podemos reducir la expresión anterior en:

Expresión reducida de la sustitución en la ecuación de Bernoulli

Tomando en cuenta el cambio de energía cinética y potencial en el sistema estudiado, la ecuación quedaría de la siguiente manera:

Agrupando términos en la ecuación de Bernoulli

Ahora, como el fluido es incompresible la masa desplazada es la misma y el volumen es el mismo. Por lo tanto, agrupando y despejando reducimos la ecuación a:

Ecuación de Bernoulli deducida

Siendo esta última, la expresión de la ecuación de Bernoulli, la cual relaciona la energía cinética, la energía potencial y la presión entre dos puntos cualesquiera dentro de la tubería.

Una interrogante bastante común es si la ecuación de Bernoulli es diferente al principio de Bernoulli y la respuesta es simple: Sí lo es, aunque ambos se encuentran relacionados directamente, ya que el principio de Bernoulli es resultado de la ecuación de Bernoulli para casos donde la altura del fluido no cambia de manera significativa.



Ejemplos ilustrativos del uso de la ecuación de Bernoulli

Para entender un poco más como aplicar la ecuación de Bernoulli en problemas cotidianos de ingeniería, resolveremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Se requiere construir una fuente de agua, la cual debe ser alimentada por una tubería cilíndrica de 15 cm de diámetro que transporta agua horizontalmente 8 m bajo el nivel del suelo. La tubería se dobla hacia arriba, disparando el agua por un extremo de tubería de unos 5 cm de diámetro que se localiza a 1.75 m sobre el nivel del suelo. El agua sale a una velocidad de 32 m/s. La densidad del agua es de 1.000 Kg/m3. ¿Cuál será la presión manométrica que requiere la tubería horizontal para esta fuente?.

Resolución

El primer paso para resolver el problema es realizar un gráfico para identificar el sistema que vamos a estudiar.


Gráfico del ejemplo 1
Figura del ejemplo 1

Identificado el sistema y sus variables, es momento de escoger los puntos. Tomamos como punto 1 a cualquier punto del fondo de la tubería (zona horizontal), ya que es allí donde deseamos conocer la presión, y como punto 2, la parte más alta de la tubería, por donde sale el fluido y se encuentra a presión atmosférica, además de conocer la velocidad de salida del fluido en dicho punto.

Con los puntos seleccionados es momento de plantear la ecuación de Bernoulli:

Ecuación de Bernoulli para el ejemplo 1

Seguidamente, despejamos la incógnita, que en este caso es la presión en el primer punto P1.

Despeje de P1 en la ecuación de Bernoulli del ejercicio 1

Agrupando términos, la ecuación nos queda de la siguiente manera:

Agrupando términos en la ecuación de Bernoulli del ejemplo 1

Es momento de identificar los datos, todos conocidos menos v1. Para calcular v1 debemos tener en cuenta la ecuación de continuidad, ya que el agua es un fluido incompresible:

Ecuación de continuidad del ejemplo 1

Donde el área de la sección transversal viene dada por:

Área transversal de la tubería del ejemplo 1

Sustituyendo, en cada lado de la igualdad y despejando nos queda la siguiente expresión:

Expresión de velocidad en el punto 1 del ejemplo 1

Conociendo los radios de cada una de las secciones transversales de los dos puntos y la velocidad de salida del fluido en el punto 2, tenemos:

Cálculo de velocidad en el punto 1 del ejemplo 1

Conocida la velocidad del fluido en el punto 1, tomamos como referencia h1 = 0. Seguidamente, resolvemos cada uno de los términos de la ecuación de Bernoulli.

Empezaremos con el término relacionado con la velocidad (energía cinética):


Cálculo de la energía cinética en la ecuación de Bernulli del ejemplo 1

Seguimos con el término relacionado con la energía potencial:

Cálculo de la energía potencial en la ecuación de Bernulli del ejemplo 1

Es momento de colocar el término de la presión en el punto 2. Como en dicho punto la presión es atmosférica y deseamos calcular la presión manométrica en el punto uno, vamos a sustituir P2 = 0, ya que la presión manométrica mide presiones por encima de la presión atmosférica. También, se puede sustituir la presión absoluta, recordando restarla cuando calculemos la presión del punto 1 y no errar el resultado. Con todos los términos, sustituimos, quedando lo siguiente:

Calculo de la presión en el punto 1 del ejemplo 1

El resultado del ejemplo 1 es: 

Presión del punto 1 del ejemplo 1



Ejemplo 2

Tomando en cuenta la siguiente figura:

Figura del ejemplo 2
Figura del ejemplo 2

Calcular:

a) vF.
b) PB.
c) PC.
d) PD.
e) PE.

Densidad 1 Kg/m3

Resolución

Este ejercicio es bastante sencillo, sólo se debe ejecutar la ecuación de Bernoulli en los puntos correspondientes para ir resolviendo el problema.

Lo primero que nos preguntan es cuál la velocidad en el punto F, por donde sale el fluido. En dicho punto, la presión es la atmosférica PF = 0 para presión manométrica al igual que en el punto A.

La velocidad en el punto A es igual a cero, ya que la superficie del líquido está en reposo. La referencia hF= 0, ya que es el punto más bajo. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y F, tenemos:


Ecuación de Bernoulli entre el punto A y F del ejemplo 2

Sustituyendo los valores, tenemos:

Sustituyendo valores en la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y F del ejemplo 2

Reordenando, tenemos:

Reordenando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y F del ejemplo 2

Despejando la velocidad del punto F, tenemos:

Calculando la velocidad en el punto F del ejemplo 2

El resultado para la pregunta a) es: vF = 7.6720 m/s

Seguidamente, calculamos la presión en el punto B dentro de la tubería. Para ello, la ecuación de Bernoulli se va a realizar entre los puntos A y B, ya que el punto A simplifica bastante los cálculos:


Ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B del ejemplo 2

Al estar a la misma altura, la referencia es h=0 para ambos puntos, de modo, que la ecuación queda de la siguiente manera:

Reducción de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B del ejemplo 2

Tomando en cuenta la ecuación de continuidad, tenemos:

Ecuación de continuidad entre los puntos B y F

También sabemos que:

Área de sección transversal de la tubería del ejemplo 2

Sustituyendo y despejando, tenemos que:

Cálculo de velocidad en el punto B del ejemplo 2

Calculando la presión tenemos:

Cálculo de presión en el punto B del ejemplo 2

El resultado para la pregunta b) es: PB = -4.4925 KPa

A continuación, calculamos la presión en el punto C, el cual es el punto más alto del sistema. Para simplificar los cálculos vamos a tomar la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C, teniendo el siguiente resultado:


Ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C del ejemplo 2

Tomando como referencia hA = 0, la ecuación queda simplificada de la siguiente manera:

Simplificando la ecucación de Bernoulli entre los puntos A y C del ejemplo 2

Necesitamos conocer el valor de la velocidad del fluido en el punto C para poder calcular la presión en dicho punto, para lo cual, vamos a recurrir a la ecuación de continuidad:

Ecuación de continuidad entre los puntos B y C

Resolviendo, tenemos:

Cálculo de velocidad en el punto C del ejemplo 2

Podemos notar que es la misma velocidad del punto B, ya que la tubería conserva el mismo diámetro. Despejando y sustituyendo, tenemos:

Cálculo de presión en el punto C del ejemplo 2

El resultado para la pregunta c) es: PC = -16.2645 KPa

Para el punto D, el resultado será el mismo que para el punto B, ya que se encuentran a la misma altura y la tubería no sufre cambio de diámetro. Por lo tanto, el resultado para la pregunta d) es: PD = -4.4925 KPa

Por último, trabajaremos en el punto E. Para ello, vamos a tomar la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y E para simplificar los cálculos. Inicialmente, tenemos:


Ecuación de Bernoulli entre los puntos A y E

Simplificando la ecuación con los datos tenemos:

SImplificando la ecuación de Bernoulli entre los putos A y E del ejemplo 2

La velocidad de E es la misma velocidad de B. Sustituyendo los valores, tenemos:

Sustituyendo valores en la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y E del ejemplo 2

Despejando, tenemos:

Cálculo de la presión en el punto E del ejemplo 2

El resultado para la pregunta e) es: PE = 24.9375 KPa

Como podemos notar, el uso de la ecuación de Bernoulli es bastante sencillo, siendo importante tener en cuenta una buena elección de los puntos a estudiar y por supuesto, tomar en consideración la ecuación de la continuidad.


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¿Qué es la Ecuación de Bernoulli? by Ing. Bulmaro Noguera is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional License


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