Método de Newton-Raphson para simulación de procesos químicos

El método de Newton-Raphson es uno de los métodos numéricos disponibles para facilitar los cálculos en ingeniería química, siendo muy utilizado para ejecutar algoritmos de simulación de procesos químicos. El concepto del método de Newton-Raphson se basa en una resolución analítica de la extensión de una recta tangencial a un punto ubicado sobre la ecuación que se está estudiando.

El método de Newton-Raphson es un método numérico utilizado para realizar iteraciones en procesos químicos. Imagen de elsevier 

En este artículo definiremos al método numérico de Newton-Raphson para resolver ecuaciones que requieran cálculos iterativos, las cuales, son las más comunes cuando se realiza una simulación de procesos químicos, y realizaremos un ejemplo utilizando el método de Newton-Raphson.

Tabla de contenidos

1. ✔Teoría del método de Newton-Raphson
2. ✔Pasos para aplicar el método numérico de Newton-Raphson
3. ✔Ejemplo: Cálculo del factor de compresibilidad de un gas utilizando Newton-Raphson

Teoría del método de Newton-Raphson

Diagrama que explica el método de Newton-Raphson. Imagen de cnx

El método de Newton-Raphson es un método numérico que tiene como particularidad el uso de un punto inicial conocido, por lo tanto, no se encuentra sujeto a cumplir con el teorema del valor medio, sin embargo, requiere del uso de la derivada de la función a estudiar en cada proceso iterativo. Al utilizar este método numérico, es vital tener mucho cuidado cuando se determina la derivada de manera analítica, ya que un pequeño error arruinaría todo el cálculo. Este método también permite evaluar a la derivada de forma numérica, lo cual, es muy recomendable cuando la función en estudio es muy compleja para resolverla de manera analítica.

El basamento principal del método de Newton-Raphson es extender una recta tangente a un punto ubicado sobre la función a estudiar, para de ese modo, evaluar el nuevo valor estimado de la solución al problema:

Cabe destacar, que la pendiente de la recta tangente a la función en un punto determinado, representa a la derivada de la función en dicho punto de evaluación. Muchas de las ecuaciones representan soluciones analíticas complejas para su derivación, por lo tanto, con cierta frecuencia se requieren inversiones matriciales o métodos de eliminación para poder resolverlas. El proceso iterativo culminará cuando la diferencia entre una iteración y su predecesora sea un número tan pequeño que se considere como un error pre-especificado, o una cantidad tan pequeña, que de por finalizado el proceso iterativo.

Pasos para aplicar el método numérico de Newton-Raphson

Podemos resumir al método de Newton-Raphson, el cual suele ser muy extenso, utilizando la siguiente relación matemática:

Donde:

• k: Iteración
• f: Función a evaluar
• f´: Derivada de la función

Utilizando, como criterio de error para detener el proceso iterativo, la siguiente expresión matemática:

Para ejecutar el método de Newton-Raphson, para resolver una ecuación por un procedimiento iterativo, es necesario seguir una serie de pasos simples, lo que genera una gran cantidad de cálculos. Para ejecutarlos rápidamente se requerirá de un lenguaje de programación para crear nuestras propias unidades de cálculo, para luego ser utilizadas en simulación de procesos químicos. Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Definir el valor de inicio de la iteración:

2. Calcular la derivada de la función:

3.Calcular la estimación de la solución:

4.Establecer un valor de tolerancia para parar la iteración (por ejemplo: 0,000001)

5.Evaluar el valor absoluto del error mediante:

6.De no cumplirse la condición, se regresa al paso 2 tomando como valor inicial el resultado de la iteración anterior.

7.Se finaliza el procedimiento cuando se cumpla la condición del paso 5.

Podemos concluir que el método de Newton-Raphson es bastante sencillo de aplicar y relativamente rápido de programar en cualquier lenguaje, teniendo como única desventaja el cálculo de la derivada de la función en cada punto de la iteración.

Para visualizar mucho mejor este método numérico, ampliamente utilizado en simulación de procesos químicos, realizaremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Cálculo del factor de compresibilidad de un gas utilizando Newton-Raphson

Ejecución del método de Newton-Raphson paso a paso. Imagen de geeksforgeeks

Calcularemos el factor de compresibilidad de un gas (Z), utilizando una ecuación de estado cúbica. Para este ejemplo, utilizaremos la ecuación de Van der Waals, la cual permite estimar el volumen específico de un fluido tomando como datos conocidos su temperatura y su presión. La ecuación de Van der Waals se expresa de la siguiente manera:

Donde:

• v: Volumen específico (m3/kgmol)
• R: 8.314 kJ/(kgmol*K)

Esta ecuación de estado se puede reescribir utilizando una expresión polinómica de grado 3, como la siguiente:

Seguidamente, podemos definir matemáticamente al factor de compresibilidad de un gas como:

Con estas dos últimas ecuaciones, realizaremos nuestro procedimiento iterativo utilizando el método de Newton-Raphson. Para nuestro ejemplo, utilizaremos los datos para el metano gaseoso a una presión de 2000 kPa y 300 K.

Utilizando tablas de datos podemos leer para estos valores de presión y temperatura, la presión y la temperatura crítica del metano, los cuales son los siguientes:

Pc = 4599 kPa
Tc= 190.6 K

Solución

Estimaremos el valor del factor de compresibilidad. Para ello, utilizaremos el método de Newton-Raphson siguiendo los pasos descritos con anterioridad. Antes de iniciar, debemos tener en cuenta que una ecuación cúbica presenta tres raíces, una de estas raíces representa al volumen del gas y no del líquido, y esta es la raíz que nos interesa.

Escribimos nuestra función:

Tomando de la ecuación polinómica de Van der Waals los coeficientes, los cuales, son constantes y no variarán durante la derivación, por lo tanto, los mantendremos de forma literal, quedando la ecuación de la siguiente manera:

Ahora, podemos derivar la función, quedándonos de la siguiente manera:

Sustituyendo y evaluando los valores de los coeficientes, las ecuaciones quedarían de la siguiente manera:

Como se requiere calcular el volumen específico del gas, utilizaremos como estimado inicial la aproximación del gas ideal, el cual es Z=1, sería el inicio más lógico para la iteración, entonces la ecuación general de los gases quedaría de la siguiente manera:

Ahora, podemos comenzar la iteración, fijamos la tolerancia en 0.001 y seleccionamos nuestro valor de inicio el cual es:

Sustituimos este valor en las ecuaciones (1) y (2), obteniendo los siguientes resultados:

Seguidamente, evaluamos la solución estimada de la siguiente manera:

Calculamos el error así:

Como no se cumple la condición de que el error debe ser menor o igual a la tolerancia, continuamos con una segunda iteración. Para ello, tomamos como valor de inicio el valor de la solución de la iteración anterior, en este caso: 1.20123, ya que realizaremos varias iteraciones hasta llegar a una convergencia utilizando el valor del error y la condición de la tolerancia.

Los datos de nuestras iteraciones los vamos a tabular a continuación:

Ahora, ya tenemos un valor que se encuentra dentro de las condiciones planteadas de error, por lo tanto, hemos llegado a una convergencia de valor de volumen específico y ya tenemos resuelto el problema, sólo debemos sustituir este valor estimado de valor específico en la ecuación general de los gases, lo que nos daría el siguiente resultado:

Siendo este un valor lógico, debido a que el factor de compresibilidad de un gas debe encontrarse entre 0 y 1, ya que representa la desviación de la idealidad de un gas. Como podemos notar, aplicar el método numérico de Newton-Raphson es bastante sencillo, sólo hay que tener mucho cuidado en la derivación para evitar errores en la estimación.

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