Extracción sólido-líquido: Método analítico

Existen métodos analíticos para resolver extracciones sólido-líquido que permiten utilizar unidades de cálculo y no requieren de pericia para trazar curvas o gráficos para resolver este tipo de operaciones. En el artículo: Extracción sólido-líquido: Método gráfico, describimos la resolución de problemas de extracción sólido-líquido utilizando gráficos, y en este artículo, vamos a describir un método de resolución completamente numérico y sin realizar gráficos triangulares o rectangulares.

Extracción sólido-líquido a nivel industrial
Extracción sólido-líquido a nivel industrial. Imagen de cchron

Tabla de contenidos
  1. Métodos analíticos para resolver problemas de extracción sólido-líquido
    1. Método de Baker
      1. Ejemplo de Método de Baker
    2. Método de McCabe y Smith
      1. Ejemplo de Método de McCabe y Smith

Métodos analíticos para resolver problemas de extracción sólido-líquido

Para resolver problemas de extracción sólido-líquido o lixiviación en sistemas de múltiples etapas en contracorriente (que son los más utilizados en la industria para realizar estas extracciones), se utilizan básicamente dos herramientas matemáticas o métodos diferentes:
  1. Método de Baker
  2. Método de McCabe y Smith

Ambos métodos se basan en el concepto de etapa teórica, suponiendo que en cada etapa la composición de la disolución retenida por el sólido es igual a la del flujo superior y que la relación de disolvente/inerte es constante en todos los refinados. Con estas consideraciones, empezaremos a describir los métodos analíticos para resolver problemas de extracción sólido-líquido.


Método de Baker

El primer método analítico para resolver problemas de extracción sólido-líquido que vamos a describir es el método de Baker, el cual, se basa en el empleo de la siguiente ecuación:

Ecuación Método Baker

Donde:
  • f: Soluto del refinado Rn/soluto en la alimentación.
  • a: Extracto que sale de la última etapa En/disolución retenida.
  • an: Extracto obtenido E1/solución retenida por el sólido.
  • WD´´: Peso del soluto en el disolvente.
  • Wn´´: Peso del soluto en el refinado Rn.

En el caso particular que el disolvente no contenga soluto (WD´´= 0), la ecuación se reduce a la siguiente expresión:

Ecuación reducida de Método Baker

En el caso de que en el refinado permanezca constante la relación disolvente/sólido inerte (en lugar de disolución/sólido inerte), se emplean las mismas expresiones matemáticas anteriormente descritas, sólo que se sustituirá a por y an por an´, las cuales vendrán dadas por:
  • a´: Disolvente que sale en el extracto En/disolvente retenido.
  • an´: Disolvente que sale en el extracto/disolvente retenido por el sólido.




Seguidamente, vamos a resolver un ejemplo para demostrar cómo se aplica el método de Baker en la extracción sólido-líquido.


Ejemplo de Método de Baker

En un sistema de extracción de tres etapas en contra corriente, se tratan 500 Kg/h de un mineral que contiene 10% de soluto, 5% de humedad y 85% de sólido inerte. Como disolvente se emplean 6000 Kg/h de agua. La disolución retenida por los sólidos es de 0.5 Kg de disolución/Kg de sólido inerte. Calcular el porcentaje de soluto recuperado y la composición del extracto separado.

Solución

Para resolver este tipo de problemas, es necesario entender cómo está funcionando el sistema. Para ello, realizamos un gráfico de la operación e identificamos los datos en dicho diagrama.

Diagrama del ejemplo de Método Baker
Diagrama de ejemplo de Método de Baker

La cantidad de sólido inerte que sale de cada una de las etapas, viene dado por un balance de masa realizado a ese componente:

Balance de masa del ejemplo 1 Método Baker

Sustituyendo, tenemos:

5000 * 0.85 = 4250 Kg

Con la cantidad de sólido inerte que sale de cada etapa, vamos a calcular la cantidad de disolución retenida por el sólido inerte, la cual viene de multiplicar la cantidad de sólido inerte por la relación entre Kg de disolución/Kg de sólido inerte, de esta manera:

4250 * 0.5 = 2125 Kg de disolución retenida

A continuación, calcularemos el refinado que sale de cada una de las etapas:


Realizando un balance de masa general, llegamos a la siguiente expresión:

Balance de masa general ejercicio 1

Cabe destacar, que al aplicar un balance de materia en las etapas 2 y 3, encontramos que al ser constante la cantidad de refinado que sale de cada etapa (igual a Rn), también ha de ser constante la cantidad de extracto que sale de cada etapa (a excepción de la primera) y que es igual a D.

Como el disolvente no contiene soluto, utilizaremos la ecuación simplificada de Baker:


Para n = 3 (3 etapas):

Ecuaciones de Baker para extracción sólido-líquido

Despejando: f = 0.0408 soluto en refinado/soluto en alimentación.

Seguidamente, calculamos el porcentaje de soluto recuperado:

Porcentaje de soluto recuperado ejemplo 1

Mientras que la composición del extracto, viene dada por:

419.6 / 4625 = 0.1037


Método de McCabe y Smith

El método de McCabe y Smith, permite calcular el número de etapas a partir de las concentraciones de las disoluciones en la extracción sólido-líquido. Si la relación disolución retenida/sólido inerte es constante, se utiliza la siguiente ecuación:

Ecuación de McCabe-Smith

Donde:
  • yf: Composición de la alimentación.
  • x1: Composición del refinado en la primera etapa.
  • xn: Composición del refinado en la última etapa.
  • yn-1: Composición del extracto en la penúltima etapa.

Todas las composiciones están expresadas en kilogramos de soluto por kilogramo de disolución. 
Si lo que permanece constante es la relación de disolvente retenido/sólido inerte, se emplea la misma ecuación, expresando las concentraciones del extracto y del refinado en kilogramos de soluto por kilogramo de disolvente.




A continuación, vamos a resolver un ejemplo para demostrar cómo se aplica el método de McCabe y Smith en la extracción sólido-líquido.


Ejemplo de Método McCabe y Smith

El cobre obtenido en un mineral previamente tostado al estado de sulfato, se extrae en múltiples etapas a contracorriente. Al sistema de extracción entran 10 ton/h de ganga inerte, 1.2 ton/h de sulfato de cobre y 0.5 ton/h de agua (con el mineral). Se pretende recuperar el 98% del sulfato de cobre en el extracto, con una concentración de 0.07% Kg de sulfato de cobre/Kg de disolución. La disolución retenida es de 2 Kg/Kg de inerte. Calcular el número necesario de etapas teóricas.

Solución

Lo primero que vamos a realizar es un diagrama de flujo de la operación para tener una idea de lo que está sucediendo.

Diagrama del ejemplo de McCabe-Smith
Diagrama de ejemplo de Método de McCabe-Smith

Empezaremos, calculando el soluto en el extracto:

1.2 * 0.98 = 1.176 ton

Seguidamente, estimamos el peso del extracto separado En:

En = 1.175 / 0.07 = 16.80 ton

Ahora, calculamos la disolución retenida en el refinado:

2 * 10 = 20 ton

Con estos datos, calculamos el valor de R1:

R1 = 10 + 20 = 30 ton

Realizando un balance global de masa en el sistema, tenemos:

D = 16.98 + 30 - 11.7 = 35.1 ton

Como la concentración del extracto yn ha de ser igual a la concentración de la disolución retenida por el sólido inerte en cada etapa, la cantidad de sulfato de cobre que sale de la última etapa con el refinado es:

20 * 0.07 = 1.4 ton

Aplicando un balance de masa referido al soluto en la última etapa, tendremos la cantidad de soluto que entra con el extracto a la última etapa:

1.176 + 1.400 – 1.20 = 1.376 ton

Por lo tanto:


yf = 0.00

De acuerdo con la ecuación de McCabe y Smith, tenemos:

Ecuación de McCabe-Smith en el ejemplo 2

Así, el número necesario de etapas teóricas es: n = 6.7 etapas

Con este último ejemplo, llegamos al final de este artículo. Como siempre, quedo atento a sus comentarios para establecer intercambio de ideas y complementar conceptos.

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