Interpolación lineal en ingeniería química: Guía completa

La interpolación lineal es un pilar fundamental en el arsenal de herramientas de un ingeniero químico. Podemos decir, que este tipo de interpolación es el arte de conectar los puntos y, en nuestro caso, esos "puntos" son datos, mediciones y valores que a menudo se presentan de manera desigual en el terreno químico e industrial. De modo, que tengamos la posibilidad de estimar valores intermedios dentro de un rango de datos de manera rápida y precisa.

La interpolación lineal es un método numérico

Interpolación lineal un método numérico muy utilizado en ingeniería química. Imagen de metodosgeneralex

En este artículo, exploraremos a fondo la interpolación lineal en ingeniería química, abordaremos la importancia de la interpolación lineal y sus múltiples ventajas. Además, veremos un par de ejemplos simples y didácticos de su aplicación práctica.

Tabla de contenidos

¿Qué es la interpolación lineal y por qué es crucial en Ingeniería Química?

Descripción gráfica de la interpolación lineal. Imagen de lifeder

La interpolación lineal emerge como un valioso aliado, una herramienta que, aunque parezca sencilla, es esencial para comprender la verdadera magnitud de nuestros datos. Pero, ¿qué es la interpolación lineal y por qué desempeña un papel crucial dentro de la ingeniería química?, lo describiremos a continuación.

¿Qué es la interpolación lineal?

Podemos definir a la interpolación lineal como un puente que conecta puntos en el mundo de los datos. Es la técnica que nos permite estimar valores entre dos puntos conocidos. En nuestro contexto, esos puntos son datos químicos o industriales. Pensemos en la concentración de una sustancia en una reacción química a diferentes temperaturas, o en la densidad de una solución a concentraciones específicas. La interpolación lineal nos brinda el poder de "rellenar los huecos" entre estas mediciones, revelando información precisa en situaciones donde los datos no son uniformes.

Importancia de la interpolación lineal en la ingeniería química

La importancia de la interpolación lineal radica en su capacidad para convertir datos dispersos en conocimiento útil. En un laboratorio químico o en la planta de producción, los valores medidos rara vez son continuos o uniformes, aquí es donde la interpolación lineal se convierte en un aliado indispensable, ya que permite determinar propiedades críticas, realizar predicciones precisas y tomar decisiones basadas en datos incompletos. Desde ajustar modelos termodinámicos hasta optimizar procesos de separación, la interpolación lineal es la brújula que guía a los ingenieros químicos hacia soluciones precisas y eficientes.

Ventajas de la interpolación lineal

Entre sus principales ventajas, tenemos:

Precisión en la estimación: La interpolación lineal permite obtener valores intermedios con una precisión notable, lo que es esencial para la ingeniería química, donde pequeñas variaciones pueden tener un gran impacto.
Ahorro de tiempo: La obtención de datos experimentales a menudo es costosa y consume tiempo. La interpolación permite rellenar los vacíos entre los datos conocidos, reduciendo la necesidad de realizar mediciones adicionales.
Simplicidad en la aplicación: La interpolación lineal es una técnica matemática simple que no requiere conocimientos avanzados. Es accesible para ingenieros y estudiantes, lo que facilita su implementación.

Fórmula de la interpolación lineal

Ecuación de la interpolación lineal. Imagen de youtube

Imagina que tus datos experimentales son como un rompecabezas, y la fórmula de interpolación lineal es la clave para unir todas las piezas. Desglosaremos cada componente de esta fórmula para que puedas comprender su funcionamiento de manera sencilla y efectiva.

Esta fórmula es fundamental para estimar un valor intermedio entre dos puntos conocidos en una relación lineal. Se basa en una suposición simple, pero poderosa: “La relación entre estos puntos es una línea recta”. Basándonos en esta relación la fórmula sería la siguiente:

Donde:

y(x): Representa el valor interpolado que deseamos encontrar.
y₁: Corresponde al valor conocido en el primer punto de datos.
y₂: Es el valor conocido en el segundo punto de datos.
x: Representa el punto intermedio en el que deseamos estimar el valor.
x₁: Es el valor conocido correspondiente al primer punto de datos.
x₂: Representa el valor conocido en el segundo punto de datos.

La fórmula de interpolación lineal se deriva de la idea de que, en una relación lineal, la tasa de cambio entre dos puntos es constante. Entonces, para estimar el valor en un punto intermedio, tomamos la diferencia entre los valores conocidos (y₂-y₁ ) y la dividimos por la diferencia entre las coordenadas de x conocidas (x₂-x₁ ). Multiplicamos esta tasa de cambio por la diferencia entre x y el valor inicial (x-x₁ ); y luego le sumamos el valor conocido en el punto inicial (y_(X)). Esto nos da una estimación precisa del valor en el punto intermedio.

La interpolación lineal se destaca por su simplicidad y eficiencia, lo que la hace ampliamente utilizada en situaciones donde se necesita una estimación rápida y razonablemente precisa de valores intermedios. Para casos más complicados donde los datos se alejen mucho de un comportamiento lineal, se pueden utilizar otros métodos de interpolación mucho más complejos.

Aplicaciones prácticas de la interpolación lineal en ingeniería química

Veamos ejemplos concretos de cómo se utiliza la interpolación en este campo y casos de estudio que revelan su aplicabilidad en la industria química.

Ejemplos concretos de cómo se utiliza la interpolación lineal en la ingeniería química

A continuación, un par de ejemplos de cómo se usa la interpolación dentro del radio de acción de un ingeniero químico:

Dilución de sustancias: En laboratorios químicos, a menudo se deben preparar soluciones con concentraciones específicas. La interpolación lineal se utiliza para calcular la cantidad exacta de sustancias necesarias para lograr la concentración deseada.
Temperatura y presión: En procesos químicos, las condiciones de temperatura y presión pueden variar. La interpolación ayuda a predecir propiedades termodinámicas intermedias, como la densidad de un fluido a temperaturas y presiones no registradas.

Casos de estudio de aplicaciones reales en la industria química

Seguidamente, veremos un par de aplicaciones de la interpolación lineal para tener una idea de su alcance dentro de la industria:

Optimización de reactores químicos: En la síntesis de productos químicos, es crucial mantener condiciones precisas de temperatura y presión. La interpolación se aplica para predecir el comportamiento de un reactor en condiciones no registradas, lo que contribuye a una producción más eficiente.
Análisis de espectros: En la espectroscopia química, los espectros a menudo contienen picos que requieren análisis. La interpolación se utiliza para determinar la posición exacta de estos picos, lo que es fundamental para identificar sustancias químicas desconocidas.

Consejos para una interpolación exitosa en ingeniería química

Descripción matemática de la interpolación lineal

Representación matemática de la interpolación lineal. Imagen de personales

A continuación, proporcionamos orientación práctica para realizar una interpolación lineal exitosa.

Recomendaciones para realizar interpolación con precisión

Recopilar datos de calidad: La calidad de los datos iniciales es crucial. Asegúrate de que tus mediciones sean precisas y consistentes. Errores en los datos de entrada se traducen en inexactitudes en los resultados interpolados.
Seleccionar el método apropiado: Además de la interpolación lineal, existen otros métodos, como la interpolación polinómica o cúbica. Elije el método que mejor se adapte a tus datos y requerimientos.
Verificar la linealidad: Antes de realizar una interpolación lineal, asegúrate de que la relación entre tus datos sea aproximadamente lineal. En casos de no linealidad, considera otros métodos de interpolación.

Errores comunes que deben evitarse

Extrapolación descontrolada: La extrapolación, que implica estimar valores más allá de los datos conocidos, puede llevar a predicciones inexactas. Limita su uso y prefiere la interpolación en el rango de datos conocidos.
Ignorar la incertidumbre: Toda medición tiene cierto grado de incertidumbre. Ignorar esta incertidumbre puede resultar en una falsa sensación de precisión en los resultados interpolados. Siempre ten en cuenta la incertidumbre en tus cálculos.
Sobrecargar datos: No todos los puntos de datos son igualmente importantes. Enfoca tu interpolación en áreas críticas y relevantes para tu problema específico.

Ejercicios resueltos de interpolación lineal

A continuación, veremos un par de ejercicios de interpolación lineal para ilustrar la teoría vista hasta el momento:

Ejercicio 1

Dada la siguiente tabla de valores para el calor específico del aire:

Temperatura	Cp	Cv	K
(K)	*KJ/Kg K**	*KJ/Kg K**
250	1.003	0.716	1.401
300	1.005	0.718	1.4
350	1.008	0.721	1.398
400	1.013	0.726	1.395
450	1.022	0.733	1.391
500	1.029	0.742	1.387
550	1.04	0.753	1.381
600	1.051	0.764	1.376
650	1.063	0.776	1.37
700	1.075	0.788	1.364
750	1.087	0.8	1.359
800	1.099	0.812	1.354
900	1.121	0.834	1.344
1000	1.142	0.855	1.336

Calcular el valor de Cp del aire a una temperatura de 530 K

Respuesta:

Luego de realizar una vista previa de los valores de temperatura, podemos observar que no existe tabulado directamente el valor de 530 K, sin embargo, existen valores para un punto por debajo 500 K y un punto por arriba del valor 550 K. Teniendo esto en cuenta, utilizaremos los siguientes valores para sustituir en la ecuación de la interpolación lineal:

500 K, Cp = 1.029

550 K, Cp = 1.04

Ahora, utilizamos la ecuación de interpolación lineal:

Siendo x = 530 y el valor de y(X) = el valor de Cp que requerimos calcular. Sustituyendo tenemos:

Resolviendo, tenemos que Cp = 1.0356 KJ/Kg * K

Ejercicio 2

De las tablas termodinámicas hemos extraído los siguientes valores para la saturación del agua:

P	T
Kpa	°C
35	72.7
45	78.7

Se requiere conocer la presión para la cual el agua se satura a una temperatura de 75 °C.

Respuesta:

De forma similar al ejercicio anterior, notamos que no existe un valor tabulado de presión para esa temperatura, es por esta razón que utilizaremos el método numérico de interpolación lineal para obtener el resultado deseado. Utilizando la ecuación y sustituyendo los valores tenemos: